CHAPT. 1 MODELLING

·      Actuarial Science terdiri atas pembentukan dan analisis dari model2 matematika yg menggbkan proses aliran dana (masuk dan keluar) dari suatu sistem asuransi. Model tsb dpt digunakan utk meramalkan (menaksir) biaya asuransi di masa depan.

·      Di kuliah ini akan dikonsentrasikan pd aliran dana keluar yg harus dibayar utk pembayaran benefit (klaim) dari asuransi umum(LOSS).

·      Suatu model ialah suatu penyederhanaan deskripsi matematik yg dibentuk berdasarkan pengetahuan dan pengalaman aktuaris digabungkan dg data masa lalu. Data mengarahkan aktuaris dlm pemilihan bentuk model, juga utk mengkalibrasi kuantitas2 yg tidak diketahui yg disebut parameter. Model ini memberikan keseimbangan antara simplicity & conformity pd data yg tersedia.

·      Simplicity thd data diukur dlm bentuk banyak parameter yg tidak diketahui (lebih sederhana lebih baik)

·      Conformity thd data diukur dlm bentuk “discrepancy” antara data dan model.

·      Pemilihan model didasarkan pd keseimbangan antara 2 kriteria tsb, yg disebut fit & simplicity.

THE MODELING ADVANTAGE

·      Utk menentukan keuntungan dg menggunakan model, tinjau suatu alternatif, penentuan keputusan yg didasarkan pd fakta empiris (empirical evidence).

·      Pendekatan empiris (empirical approach) mengasumsikan bhw y.a.d. dpt diharapkan tepat sama seperti suatu sampel dari yang lalu. Mungkin dg penyesuaian utk trend seperti inflasi.

·      Example 1.1

Suatu portofolio dari sertifikat2 asuransi jiwa terdiri atas 1000 pegawai dg berbagai usia dan manfaat kematian. Dlm 5 tahun yg lalu, 14 pegawai meninggal dan menerima total manfaat 580.000. Tentukan taksiran empiris dari harapan pembayaran benefit tahun depan. Apa bahayanya.

·      Lebih masuk akal utk membangun suatu model, dlm hal ini dg tabel mortalitas. Tabel ini didasarkan pd pengalaman orang2 dg jumlah besar (tidak hanya 1000). Dg model ini tidak hanya dpt ditaksir ekspektasi pembayaran utk tahun depan, tetapi dpt juga diukur risiko pembayaran benefit dg menghitung …. Persoalan ni dibahas dlm Mat Aktuaria.

·      Variabel² risiko aktuaria berhubungan dg

-          kapan terjadinya klaim.

-          berapa besar klaim

·      Yang akan dipelajari :

-          Mula² tentang model² dan bagaimana menggunakannya.

-          Kemudian menentukan model yang digunakan utk suatu data.

     Alasannya : …

CHAPT 2  RANDOM VARIABLES

2.1 INTRODUCTION

·      Suatu model aktuaria ialah suatu usaha utk merepresentasikan suatu aliran pembayaran y.a.d. yg tidak pasti.

Ketidakpastian pembayaran disebabkan :

-          apakah ada suatu pembayaran

-          kapan pembayaran dilakukan (timing)

-          berapa besar yang dibayar (severity)

·      Karena yg paling berguna dlm merepresentasikan ketidakpastian ialah melalui probabilitas, kita mengkonsentrasikan pd model² probabilitas. Mula² distr prob yg relevant diandaikan diketahui. Kemudian distr prob yg sesuai dg suatu data dibahas di bab 10 – 13 (edisi 2) atau bab 13 – 19 (edisi 3).

·      Aspek² model prob aktuaria meliputi :

1.      Def v.r. & fungsi² penting dg beberapa contoh.

2.      Penghitungan dasar dari model prob.

3.      Distr² prob khusus dan sifat² nya.

4.      Penghitungan lebih “advance” menggunakan “severity models”.

5.      Model² dg memasukkan v.r. banyak pembayaran dlm besar pembayaran.

6.      Model yg menjajaki surplus perusahaan thd waktu.

·      V.r. yang ditemui di aktuaria:

1.      Usia kematian dari seorang bayi yg dipilih secara random. (Model 1)

2.      Banyak dollar yg  dibayar pd klaim kecelakaan mobil yg dipilih secara random. (Model 2)

3.      Banyak klaim kecelakaan mobil dlm 1 tahun dari suatu mobil ygdiasuransikan, yg dipilih scara random.(Model 3)

4.      Total dollar dlm klaim² “medical malpractice” yg dibayar dlm 1 tahun pd suatu rumah sakit yg dipilih secara random. (Model 4)

2.2  KEY FUNCTIONS & 4 MODELS

·      Def 2.1:

Fungsi distribusi kumulatif (fungsi distribusi) utk v.r. X.

Notasi : F_X(x)  atau F(x)

F_X(x) = Pr(X ≤ x) (Probabiltas X ≤ suatu bil yg diberikan)

Disingkat: cdf

·      F.distr harus memenuhi syarat :

1.      0 ≤ F(x) ≤ 1

2.      F(x) tidak turun.

3.      F(x) kontinu kanan.

4.       dan 

·      Karena f.distr tidak perlu kontinu kiri, maka f distr mungkin mempunyai lompatan. Jika ada lompatan, nilai f. distr ditunjukkan pd ….

·      F.distr. utk tiap dari 4 model di atas dg grafiknya : ….

·      Def 2.2 :

     The support of a random variable is a set of numbers that are possible values of the  

     random variable.

·      Def 2.3 :

Suatu v.r. disebut diskrit jika supportnya berisi paling banyak nilai² yg banyaknya terhitung.

Suatu v.r. disebut kontinu jika f. distr.nya kontinu dan terdiferensialkan di mana² kecuali pd nilai² yg banyaknya terhitung.

Suatu v.r. disebut campuran (mixed) jika bukan diskrit dan ialah kontinu di mana² kecuali pd paling sedikit ada 1 loncatan dan paling banyak pd nilai² yg banyaknya terhitung.

·      Tentukan jenis v.r. dari 4 model di atas dg supportnya.

·      Fungsi survival utk suatu v.r. X  ialah prob X > suatu bil yg diberikan.

Notasi : S_X(x) atau S(x)

S_X(x) = Pr(X > x)

·      Sifat² : …

·      Jika ada lompatan, maka ….. dan nilai f. survival di lompatan tsb ditunjukkan oleh …..

·      Tentukan f. survival dari 4 model di atas dg grafiknya.

·      Def 2.5 : (utk v.r. kontinu)

Probability Density Function (= density function)

Singkatan : pdf

Notasi : f_X(x) atau f(x)

Menyatakan turunan dari f. distr. atau negatif dari turunan f. survival.

f(x) = ….

·      F. densitas didef.kan hanya di titik² di mana turunan ada.

·      Bagaimana hubungan probabilitas dg f. densitas, f. distr., f. survival.

Nilai v.r. dlm daerah dg f. densitasnya tinggi ….

·      Tentukan f. densitas dari 4 model yg lalu : …

·      Def 2.5 : (utk v.r. diskrit)

Probability  Function (= probability mass function)

Notasi : p_X(x) atau p(x)

Menyatakan prob. di titik² berbeda dg prob. positif.

·      Tentukan f prob dari 4 model di atas.

·      Def 2.7 :

Hazard rate (force of mortality, failure rate)

Notasi : h_X(x) atau h(x)

Menyatakan rasio dari f densitas dan f survival, jika f densitas terdef

·      Tentukan hazard rate dari 4 model di atas dg grafiknya.

Catatan : Utk distr campuran, hazard rate hanya didefkan atas sebagian support dari v.r.nya.

·      MODEL 5

Model berikut mengilustrasikan suatu situasi di mana terdapat suatu titik di mana f densitas dan fungsi hazard rate tidak ada.

Suatu alternatif utk distr lifetime di model 1:

      

S₅(x) ialah piecewise linear dan turunan di 50 tidak terdef. Karena itu f densitas dan f hazard rate ….. Tidak seperti model 4, di sini tidak terdpt prob diskrit di 50. Prob di 50 ialah …. Densitas atau hazard rate di 50 dpt ditentukan dg sembarang, tanpa mempengaruhi penghitungan berikutnya, shg diperoleh f distr/f survival kontinu kanan.

Tentukan f distr,f densitas, f hazard rate dari model 5 dg grafiknya.

·      Berbagai distr kontinu ada di appendix A, sedangkan berbagai distr diskrit ada di appendix B.

·      Suatu ciri yg menarik dari suatu v.r. ialah nilai yg paling banyak mungkin terjadi.

Def 2.8

The mode of a r.v. is the most likely value.

Utk suatu distr diskrit, mode ialah nilai …..

Utk suatu distr kontinu, mode ialah nilai …..yaitu terdapat ….

·      Tentukan mode dari model 1-5.